Determinar qué grupos contiene un grupo es otra forma de entender su estructura. Por ejemplo, pequeños grupos de z6 son {0}, {0, 2, 4} y {0, 3}: el grupo más pequeño, el grupo más grande de 2 y el grupo más grande de 3. D6Los ciclos forman un subconjunto, pero las referencias no. Esto se debe a que dos sumas consecutivas producen una ronda, no una imagen, del mismo modo que la suma de dos números impares da como resultado uno.
Algunos tipos de los llamados grupos “normales” son muy útiles para los matemáticos. En un grupo de estudio, todos los subgrupos son comunes, pero esto no es cierto en general. Estos grupos conservan algunas de las mejores cosas, sin obligar a todo el grupo a cambiar. Si se puede conocer la lista de subgrupos comunes, los grupos se pueden dividir en muchas partes de tal manera que los números se puedan dividir en productos de números primos. Los grupos que no tienen subgrupos comunes se denominan grupos simples y no se pueden dividir más, del mismo modo que las estadísticas no se pueden medir. el grupo znorte es fácil siempre y cuando norte es lo principal: los múltiplos de 2 y 3, por ejemplo, forman subgrupos regulares z6.
Sin embargo, los grupos simples no siempre son fáciles. “Es un nombre muy inapropiado en matemáticas”, dijo Hart. En 1892, el matemático Otto Hölder sugerencia de que los investigadores se reúnan una lista completa de todas las clases simples posibles. (Las clases indefinidas, como los números enteros, forman su propia área temática).
Resulta que casi todos los grupos débiles simples se ven así. znorte (por el valor original de norte) o pertenecer a una de las otras dos familias. Y hay 26 excepciones, llamadas grupos temporales. Cortarlos y demostrar que no hay otras posibilidades llevó más de un siglo.
El cúmulo inmediato más grande, apropiadamente llamado cúmulo gigante, fue descubierto en 1973. que 8×1054 unidades y representa círculos geométricos en el espacio con aproximadamente 200.000 dimensiones. “Es una locura que la gente pueda encontrar esto”, dijo Hart.
En la década de 1980, la mayor parte del trabajo que Hölder había solicitado parecía haber sido completado, pero era difícil demostrar que ya no había grupos activos allí. La clasificación se retrasó aún más cuando, en 1989, el público encontró lagunas en un documento de 800 páginas de principios de los años 1980. Nueva evidencia finalmente fue publicado en 2004, para completar la división.
Muchas estructuras matemáticas modernas (anillos, campos y espacios vectoriales, por ejemplo) se crean cuando se agregan estructuras adicionales a los grupos. Con anillos, puedes multiplicar, sumar y restar; En los campos, también puedes dividir. Pero bajo todas estas estructuras más complejas se encuentra el mismo concepto de primera clase, con sus cuatro axiomas. “La riqueza que es posible dentro de esta estructura, con estas cuatro reglas, es asombrosa”, dijo Hart.
la primera historia reimpreso con permiso de Revista Quantapublicación independiente a los editores de Fundación Simons cuya misión es mejorar la comprensión pública de la ciencia cubriendo los avances y métodos de investigación en matemáticas y ciencias físicas y biológicas.
