Which Inequality Is Represented By The Graph Below

(Anda harus berasumsi ada grafik yang tidak bisa saya lihat. Buat beberapa kemungkinan grafik yang umum ditemukan dalam soal pertidaksamaan, lalu bahas cara mengidentifikasi pertidaksamaannya.)

Mari kita bedah cara menentukan pertidaksamaan yang sesuai dengan grafik. Membaca grafik pertidaksamaan memang membutuhkan sedikit ketelitian, tapi dengan memahami elemen-elemen dasarnya, Anda akan dengan mudah mengidentifikasi persamaan yang tepat. Artikel ini akan membahas berbagai jenis grafik pertidaksamaan yang umum, langkah-langkah untuk menganalisisnya, dan contoh-contoh soal untuk mengasah kemampuan Anda.

Memahami Elemen Dasar Grafik Pertidaksamaan

Sebelum melangkah lebih jauh, penting untuk memahami beberapa elemen kunci yang membentuk sebuah grafik pertidaksamaan:

• Garis Batas: Ini adalah garis yang memisahkan bidang koordinat menjadi dua wilayah. Garis ini bisa berupa garis lurus atau kurva, tergantung pada jenis pertidaksamaannya.
  • Garis Padat (Solid Line): Menunjukkan bahwa titik-titik pada garis tersebut termasuk dalam solusi pertidaksamaan. Ini berarti pertidaksamaannya menggunakan simbol "≤" (kurang dari atau sama dengan) atau "≥" (lebih dari atau sama dengan).
  • Garis Putus-putus (Dashed Line): Menunjukkan bahwa titik-titik pada garis tersebut tidak termasuk dalam solusi pertidaksamaan. Ini berarti pertidaksamaannya menggunakan simbol "<" (kurang dari) atau ">" (lebih dari).
• Daerah yang Diarsir (Shaded Region): Bagian bidang koordinat yang diarsir menunjukkan himpunan semua titik (x, y) yang memenuhi pertidaksamaan. Daerah ini menunjukkan solusi dari pertidaksamaan tersebut.
• Jenis Garis: Garis batas dapat berupa:
  • Garis Lurus: Merepresentasikan pertidaksamaan linear (misalnya, y ≤ 2x + 1).
  • Garis Lengkung (Kurva): Merepresentasikan pertidaksamaan non-linear, seperti kuadrat (misalnya, y > x²) atau lingkaran (misalnya, x² + y² < 9).
• Arah Arsiran: Arah arsiran relatif terhadap garis batas menunjukkan jenis pertidaksamaan:
  • Arsiran di Atas Garis: Umumnya menunjukkan "lebih dari" (>) atau "lebih dari atau sama dengan" (≥).
  • Arsiran di Bawah Garis: Umumnya menunjukkan "kurang dari" (<) atau "kurang dari atau sama dengan" (≤).

Langkah-Langkah Mengidentifikasi Pertidaksamaan dari Grafik

Berikut adalah langkah-langkah sistematis yang dapat Anda ikuti untuk menentukan pertidaksamaan yang direpresentasikan oleh suatu grafik:

1. Tentukan Jenis Garis Batas: Apakah garisnya lurus atau lengkung? Ini akan membantu Anda menentukan jenis pertidaksamaan yang terlibat (linear, kuadrat, dll.).
2. Perhatikan Apakah Garisnya Padat atau Putus-putus: Ini akan menentukan apakah pertidaksamaan melibatkan "sama dengan" (≤ atau ≥) atau tidak (< atau >).
3. Tentukan Persamaan Garis Batas:
   • Jika Garis Lurus: Gunakan bentuk slope-intercept (y = mx + b) atau bentuk standar (Ax + By = C) untuk menemukan persamaan garis. Anda perlu menentukan slope (m) dan y-intercept (b), atau nilai A, B, dan C.
   • Jika Garis Lengkung: Identifikasi jenis kurva (parabola, lingkaran, elips, dll.) dan tentukan persamaannya berdasarkan bentuk umumnya. Misalnya, parabola dengan puncak di (h, k) memiliki bentuk (y = a(x - h)² + k), dan lingkaran dengan pusat di (a, b) dan jari-jari r memiliki bentuk ((x - a)² + (y - b)² = r²).
4. Tentukan Arah Arsiran: Apakah daerah yang diarsir berada di atas atau di bawah garis (untuk garis lurus), atau di dalam atau di luar kurva (untuk garis lengkung)?
5. Gabungkan Informasi untuk Menulis Pertidaksamaan: Setelah Anda memiliki persamaan garis batas dan mengetahui arah arsiran serta jenis garis (padat atau putus-putus), Anda dapat menulis pertidaksamaan yang sesuai.

Contoh Kasus: Pertidaksamaan Linear

Misalkan Anda melihat grafik dengan garis lurus padat yang memotong sumbu y di titik (0, 2) dan memiliki slope 1/2. Daerah yang diarsir berada di atas garis.

• Jenis Garis: Lurus
• Garis Padat/Putus-putus: Padat
• Persamaan Garis: y = (1/2)x + 2
• Arah Arsiran: Di atas garis

Karena garisnya padat dan arsiran berada di atas garis, pertidaksamaannya adalah: y ≥ (1/2)x + 2

Contoh Kasus: Pertidaksamaan Kuadrat

Misalkan Anda melihat grafik dengan parabola putus-putus yang membuka ke atas, memiliki puncak di (0, 0), dan daerah yang diarsir berada di dalam parabola.

• Jenis Garis: Parabola
• Garis Padat/Putus-putus: Putus-putus
• Persamaan Garis: y = x²
• Arah Arsiran: Di dalam parabola

Karena garisnya putus-putus dan arsiran berada di dalam parabola, pertidaksamaannya adalah: y < x²

Contoh Kasus: Pertidaksamaan Lingkaran

Misalkan Anda melihat grafik dengan lingkaran padat dengan pusat di (0, 0) dan jari-jari 3. Daerah yang diarsir berada di dalam lingkaran.

• Jenis Garis: Lingkaran
• Garis Padat/Putus-putus: Padat
• Persamaan Garis: x² + y² = 9
• Arah Arsiran: Di dalam lingkaran

Karena garisnya padat dan arsiran berada di dalam lingkaran, pertidaksamaannya adalah: x² + y² ≤ 9

Tips Tambahan

• Uji Titik: Jika Anda ragu, pilih titik di daerah yang diarsir (misalnya, (0, 0) jika memungkinkan) dan substitusikan koordinatnya ke dalam pertidaksamaan yang Anda duga. Jika titik tersebut memenuhi pertidaksamaan, kemungkinan besar jawaban Anda benar. Sebaliknya, jika titik tersebut tidak memenuhi pertidaksamaan, coba pertidaksamaan yang berbeda.
• Perhatikan Skala: Pastikan Anda memperhatikan skala pada sumbu x dan y saat menentukan slope dan intercept.
• Latihan: Semakin banyak Anda berlatih menganalisis grafik pertidaksamaan, semakin mudah Anda mengenalinya.

Pertidaksamaan dengan Nilai Mutlak

Pertidaksamaan nilai mutlak juga sering muncul dalam soal grafik. Bentuk umumnya adalah |x| < a, |x| > a, |x - h| < a, atau |x - h| > a (dan variasi serupa untuk |y|).

• |x| < a: Ini berarti -a < x < a. Grafiknya adalah daerah di antara dua garis vertikal, x = -a dan x = a.
• |x| > a: Ini berarti x < -a atau x > a. Grafiknya adalah daerah di luar dua garis vertikal, x = -a dan x = a.
• |x - h| < a: Ini berarti -a < x - h < a, atau h - a < x < h + a. Grafiknya adalah daerah di antara dua garis vertikal yang bergeser dari x = -a dan x = a sejauh h unit.
• |x - h| > a: Ini berarti x - h < -a atau x - h > a, atau x < h - a atau x > h + a. Grafiknya adalah daerah di luar dua garis vertikal yang bergeser dari x = -a dan x = a sejauh h unit.

Konsep serupa berlaku untuk pertidaksamaan dengan |y|. Perbedaannya adalah garis batasnya horizontal, bukan vertikal.

Sistem Pertidaksamaan

Terkadang, Anda akan melihat grafik yang menunjukkan solusi dari sistem pertidaksamaan, bukan hanya satu pertidaksamaan. Dalam kasus ini, daerah yang diarsir adalah daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan dalam sistem tersebut. Untuk menentukan sistem pertidaksamaan, ikuti langkah-langkah berikut:

1. Identifikasi Setiap Garis Batas: Tentukan persamaan dan jenis setiap garis batas (padat/putus-putus, lurus/lengkung).
2. Tentukan Pertidaksamaan untuk Setiap Garis: Tentukan pertidaksamaan yang sesuai untuk setiap garis batas, berdasarkan arah arsiran relatif terhadap garis tersebut.
3. Gabungkan Pertidaksamaan: Gabungkan semua pertidaksamaan yang Anda temukan. Inilah sistem pertidaksamaan yang direpresentasikan oleh grafik tersebut.

Contoh Soal Sistem Pertidaksamaan

Misalkan Anda melihat grafik dengan dua garis:

• Garis lurus padat dengan persamaan y = x + 1, dan daerah yang diarsir berada di atas garis.
• Garis lurus putus-putus dengan persamaan y = -x + 3, dan daerah yang diarsir berada di bawah garis.

Maka, sistem pertidaksamaannya adalah:

• y ≥ x + 1
• y < -x + 3

Daerah yang diarsir pada grafik adalah daerah yang memenuhi kedua pertidaksamaan ini secara bersamaan.

Kesalahan Umum yang Harus Dihindari

• Salah Mengidentifikasi Garis Padat dan Putus-putus: Pastikan Anda benar-benar melihat apakah garisnya padat atau putus-putus. Ini adalah kesalahan umum yang dapat mengubah seluruh jawaban Anda.
• Salah Menentukan Arah Arsiran: Perhatikan baik-baik apakah daerah yang diarsir berada di atas/bawah garis atau di dalam/luar kurva.
• Tidak Memperhatikan Skala: Pastikan Anda memperhatikan skala pada sumbu x dan y saat menentukan slope, intercept, dan parameter lainnya.
• Terburu-buru: Luangkan waktu untuk menganalisis grafik dengan cermat sebelum membuat kesimpulan. Periksa kembali pekerjaan Anda untuk memastikan tidak ada kesalahan.

FAQ

• Bagaimana jika garis batasnya vertikal atau horizontal?

  • Garis vertikal memiliki persamaan x = c, di mana c adalah konstanta. Pertidaksamaannya akan berupa x < c, x > c, x ≤ c, atau x ≥ c, tergantung pada arah arsiran dan jenis garis (padat/putus-putus).
  • Garis horizontal memiliki persamaan y = c, di mana c adalah konstanta. Pertidaksamaannya akan berupa y < c, y > c, y ≤ c, atau y ≥ c, tergantung pada arah arsiran dan jenis garis.

• Bagaimana jika grafiknya sangat kompleks dengan banyak garis dan kurva?

  • Pecah masalah menjadi bagian-bagian yang lebih kecil. Identifikasi setiap garis batas satu per satu, tentukan pertidaksamaannya, dan kemudian gabungkan semuanya. Gunakan warna yang berbeda untuk menandai daerah yang memenuhi setiap pertidaksamaan untuk membantu Anda melihat daerah yang memenuhi semuanya.

• Apakah selalu mungkin untuk menentukan pertidaksamaan dari grafik?

  • Dalam kebanyakan kasus, ya. Namun, ada kemungkinan bahwa grafik tersebut tidak lengkap atau tidak jelas, sehingga sulit untuk menentukan pertidaksamaan yang tepat.

Kesimpulan

Menentukan pertidaksamaan yang direpresentasikan oleh sebuah grafik membutuhkan pemahaman tentang elemen-elemen dasar grafik, kemampuan untuk mengidentifikasi persamaan garis batas, dan kemampuan untuk menganalisis arah arsiran. Dengan mengikuti langkah-langkah sistematis yang telah dijelaskan dalam artikel ini, dan dengan banyak latihan, Anda akan menjadi mahir dalam membaca dan menafsirkan grafik pertidaksamaan. Ingatlah untuk selalu memeriksa kembali pekerjaan Anda dan berhati-hati terhadap kesalahan umum. Selamat berlatih!